Vierteljährliche gegen Ganzjährliche Dividende

Einführung

Eigentlich bin ich ein Börsenabstinenzler. Ich habe ja auch kein direktes Interesse daran, denn weder bin ich Banker noch arbeite ich in der Finanzbranche. Trotzdem werden in der letzten Zeit immer wieder auf mein Handy Nachrichten geschickt, die in etwa so lauten: Diese Dividendenaktien müssen sie haben. Haben Sie schon mal was von Dividendenaristokraten gehört?
Ja, was ich weiss ist, dass gewisse Unternehmungen die an der Börse kotiert sind, jährlich oder eben auch vierteljährlich eine Dividende auszahlen. In der Schweiz ist es üblich, dass die Firma ein jährliche Dividende zahlt und in Amerika eine vierteljährliche. Ich habe mich nun gefragt, gibt es Gründe, warum eine vierteljährliche Dividende zu bevorzugen ist. Rechnen kann ich ja und ich finde es mathematisch gesehen interessant, dies genauer zu untersuchen. Hat eben was mit angewandter Mathematik zu tun.
Rein intuitiv habe ich natürlich schneller wieder Geld auf dem Konto, wenn ich alle Vierteljahr eine Dividende erhalten.

Aber gibt die Mathematik noch auf andere Fragen Antwort?

Also fangen wir mal an, einige Begriffe zu definieren und arbeiten uns mathematisch vor...

 

Die Rendite

Eine hohe Rendite kann ein Kleinkind von einer geringen Rendite unterscheiden. Wenn ich Ende Jahr mehr Geld auf meinem Konto habe, als anfangs des Jahres, so habe ich sicherlich positiv gewirtschaftet.

Auch bei Aktien kann ich von einer Rendite sprechen. Ich definiere sie wie folgt:

`R_(i,t) := V_(i,t) - K_(i,0) + sum_{i=1}^n D_(i,t_n)`

Das ist schon ein recht komplizierter Ausdruck!
Definieren wir die Terme:
`R_(i,t)` : Ist gerade die Rendite der Aktie i zum Zeitpunkt t
`V_(i,t)` : Hypothetischer Verkausfwert der Aktie i zum Zeitpunkt t. Dieser Wert umfasst sämtliche Börsengebühren (Courtage, Steuern)
`K_(i,0)` : Ist der Kaufswert aller Shares der Aktie i. Auch hier Steuern etc. inbegriffen.

Die Summe am Schluss drückt eben die Dividendenzahlungen aus, wobei `t_n le t forall n`. Auch hier sind die Steuern inbegriffen.

Die intuitive Sicht

Aus intuitiver Sicht ist die Rendite bei Aktien mit vierteljährlicher Dividende höher als bei Aktien mit monatlicher Dividende. Jedenfalls die kurzfristige Rendite, denn es wird alle vier Monate eine Dividende ausbezahlt, die entweder nun als Barwert vorliegt oder aber für eine Reinvestition getätigt werden kann. Kurschwankungen innerhalb des Jahres schlagen so weniger stark auf die Rendite.
Angenommen beide Aktien variieren gleich stark und mit gleichen Werten, während eines Zeitintervalls `t in [t_1,t_2] `, so kann wenn mit zukünftigen etwa konstanten Börsenkursen gerechnet wird die Aktie eher wieder abgestossen werden, weil mit der Dividende der Kostenfaktor Courtage und Steuern amortisiert werden kann und zudem durch die Dividende Geld in die Kasse fliesst. Dies macht dann Sinn, wenn die Anlagestrategie darauf abzielt, durch Verkauf und Kauf Gewinne zu erzielen. 

Der Kaufswert ergibt sich ja auch

`K_(i,0) = B_(i,0) + S_(i,0)`    : Zusammensetzung Kaufswert aus Börsenkurs und Kaufskosten

Die Aktie `i` ist dann unabhängig von den zusätzlichen Kosten, wenn die Dividendenerträge gerade die Kaufs- und die hypothetischen Verkaufskosten decken. Dies soll idealer Weise bei der ersten Dividendenzahung erreicht werden. `s_i` bezeichne die Anzahl Shares der Aktie `i` und `D_(i,s,t_1)` die Dividendenzahlung zum Zeitpunkt `t_1`.

`B_(i,0) = B_(i,s,0) cdot s_i`
`D_(i,s,t_1) cdot s_i cdot p`   : totale Dividende (meistens wird die Dividende pro Share angegeben)

Ausgerechnet ergibt sich:

`s_i = frac {S_(i,0) + S_(i,t_1)}{D_(i,s,t_1) cdot p}`

Beim Kauf dieser Anzahl Aktien sind die Kosten schon nach der ersten Dividende wieder eingespielt.

 Beispiel:
- 40 CHF Kosten pro Trade
- Börsenwert 20 CHF, konstant
- vierteljährliche Dividende von 0.30 pro Aktie
- 15 % Steuerabzug auf Dividende

`s_i = frac{40+40} {0.30 cdot 0.85} = frac{80}{0.255} = 313.73  Rightarrow s_i = 314`

Damit müssten mindestens 314 Aktien gekauft werden, um die Kosten schon nach der ersten Dividendenzahlung reinzuholen. Allerdings kann dann relativ unbeschwert getradet werden, denn es ist nur noch der Börsenwert für eine positive Rendite zu beachten. Der Gesamtanlagebetrag ist mit 6280 CHF auch noch für Kleinaktionäre verträglich.

Es ist oftmals so, dass gerade Börsenneulinge - wie ich mir habe erklären lassen - zwar die Kaufskosten berücksichten, sich aber beim Verkauf bei der Berechnung der Verkaufskosten verrechnen!  Dieses Risiko wird mit den obigen Betrachtungen eliminiert.

Strategie Halten

Dividendenperlen sollte ja im Portfolio verbleiben. So wird mir das wenigstens auf dem Handy mitgeteilt. Würde ja auch Sinn machen, denn ein hohe und oftmals ausgezahlte Dividende generiert zusätzliches Einkommen. Allerdings denke ich auch, dass das Risiko bei sehr hohen Dividenden einen Gesamtverlust zu erleiden, auch sehr hoch ist. Normalerweise zahlt ein Unternehmen nicht unbedingt freiwillig zu hohe Dividenden.

Item!

Was ich in der Einführung schon erwähnt habe, bin ich mehr daran interessiert, vierteljährliche Dividendenaktien mit jährlichen Dividendenaktien zu vergleichen und dies über eine längeren Zeitraum. Der Unterschied ist nicht gross, wenn die Dividende regelmässig auf ein Sparkonto fliesst und natürlich die Aktien gehalten werden können. Als ich anfing zu Rechnen, war mir wirklich nicht bewusst, wo der Unterschied liegen könnte. Nach langer Rechnerei bin ich dann auf die überraschende Tatsache gestossen, dass bei der Reinvestion der Dividenden in die Aktien sich grosse Unterschiede ergeben. Ein Reinvestition heisst, dass anstatt die Dividende ausgezahlt wird, der Auszahlungsbetrag in neue Aktien der gleichen Firma fliesst.

Zusammenfassend kann ich das Resultat so formulieren: Halbe Aktien gibt es leider nicht!

Die Reinvestition

Der Kapitalzufluss können wir wie folgt definieren:

`K_(i,t)|_(t geq t_n) = sum_{j=1}^n D_(i,j,t_n)`, ist also gerade die Summer aller bis zu einem Zeitpunkt erreichten Dividenden

Aktien mit vierteljährlicher Dividende haben einen höheren Kapitalzufluss als Aktien mit jährlicher Dividende innerhalb eines Jahres. Aufs gesamte Jahr verglichen ist der Kapitalzufluss, wenn beide Aktien die gleichen Jahresdividenden abwerfen der gleiche.

Definiton: `N_(i,t_n)` seien die Anzahl Shares der Aktie i zum Zeitpunkt `t_n`

Damit ist der Kapitalzufluss bei einer mehrmaligen Dividendenzahlung pro Jahr:

`K_(i,t)|_(t geq t_n) = N_(i,t_0) cdot D_(i,s,t_1) +...+ N_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n)`

Der Kapitalzufluss `K_(i,t_n)` ist dementsprechend:

`K_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n)`

Mit dem Kapitalzufluss sollen neue Aktien der gleichen Firma gekauft werden.

Dazu muss `K_(i,t) ge B_(i,s,t) + T_(i,t)` sein, das heisst grösser als der Börsenwert mindestens einer Aktie und der damit verbundenen Kosten beim Kauf `T_(i,t)`. Die Anzahl Shares die gekauft werden können ist deshalb (wir verlangen das obige Ungleichung bei jedem Dividendengang gilt):

`Ñ_(i,t_n)  = (K_(i,t_n)-T_(i,t_n))/(B_(i,s,t_n))  = (N_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n)-T_(i,t_n))/B_(i,s,t_n)`

Beispiel:

Anzahl Aktien	Dividende pro Aktie	Börsenwert	Kosten	Zukauf
10	30	500	5	0.52
20	30	500	5	1.19

Die Tabelle zeigt, dass im Fall a) gar kein Zukauf möglich ist, denn

`10cdot30 =300 lt 500 + 5`

Erst im Fall 2) gilt:
`20cdot30 = 600 gt 500 + 5`

Wir können auch die minmale Anzahl Aktien berechnen, die es gerade braucht, damit eine Reinvestition getätigt werden kann:

`K_min = B_(i,s,t) + T_(i,t) = 500 + 5 = 505`   : Kaufswert

damit wird mit der Forderung `Ñ=1, s_i = K_min/D_(i,s,t_n) = 16.833`

Diese obigen Zahlen sind für gute Dividendenaktien realistisch. Es muss also mit 17 Aktien angefangen werden, so dass eine Reinvestition möglich ist. Das heisst es muss für 8500 Franken Aktien gekauft werden. Eine hübsche Zahl !

Die Kosten habe ich mit 5 angesetzt. Im Allgemeinen werden die Reinvestitionskosten kleiner sein, als hier angegeben (sagte man mir jedenfalls).

Für die weitere Diskussion wird der Kostenterm beibehalten.

Die kontinuierliche Reinvestition

Die kontinuiertliche Reinvestition findet bei jedem Börsengang statt.

Für die erste Dividende wurde errechnet:

`Ñ_(i,t_1)  = |(K_(i,t_1)-T_(i,t_1))/B_(i,s,t_1)|   =  |(N_(i,t_0) cdot D_(i,s,t_1)-T_(i,t_1))/B_(i,s,t_1)|`

Hier wurde die Gauss'sche Klammer verwendet. Es gibt ja keine halben Aktien, also wird immer auf die nächste Ganzzahl abgerundet. Im folgenden werden wir aber trotzdem den genauen Wert für die `Ñ_(i,t_n)` verwenden und explizit die Gauss'sche Klammer um den Ausdruck schreiben `|Ñ_(i,t_n)|`

Beispiel:   `|1.09| = 1` und `|1.997| = 1`

Allgemein gilt dann für den Zuwachs an Aktien im Depot

`N_(i,t_n) = N(i,t_0) + |Ñ_(i,t_1)| + |Ñ_(i,t_2)| + ... + |Ñ_(i,t_n)|`           bei n Dividendenzahlungen 

damit folgt: (mit der Definiton von Di,s,tn als Dividendenertrag pro Share) und

`K_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1))cdotD_(i,s,t_n)`
`Ñ_(i,t_n) = (K_(i,t_n)-T_(i,t_n))/B_(i,s,t_n) = (N_(i,t_(n-1))cdotD_(i,s,t_n)-T_(i,t_n))/B_(i,s,t_n)`

Der reine Kapitalertrag besteht nur noch aus den Kaptialabfindungen:

neu `K_(i,t) = A_(i,t_1) + ... + A_(i,t_n)`

Um eine allgemeine Formel zu erhalten, rechnen wir die `N_(i,t_n)`'s aus:

Mit

`Ñ_(i,t_n) = (N_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n)-T_(i,t_n))/B_(i,s,t_n)`     

folgt

`N_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1)) + |Ñ_(i,t_n)| = N_(i,t_(n-1)) + |1/B_(i,s,t_n)cdot(N_(i,t_(n-1))cdotD_(i,s,t_n)-T_(i,t_n))|`


Beispiel: 3 Divzahlungen konstant 30 /Anzahl Aktien 100/keine Kosten/Börsenwert 500

`N_(i,t_1) = 100 + |1/500cdot(100cdot30-0)| =  106`
`N_(i,t_2) = 106 + |1/500cdot(106cdot30-0)| =  112`
`N_(i,t_3) = 112 + |1/500*(112cdot30-0)| =  118`

Mit jeder Dividendenzahlung konnten 6 neue Aktien erworben werden.

Die Kapitalabfindung können wir näher berechnen:

`A_(i,t_n) = (Ñ_(i,t_n) - |Ñ_(i,t_n)|)cdotD_(i,s,t_n) cdot p_(i,s)`

dabei ist `p_(i,s)` der prozentuelle Anteil/100 der Kapitalabfindung der uns ausbezahlt wird.

Bilanz nach n Monaten

Wir machen nun Bilanz, was wir dazu gewonnen oder verloren haben:

`W_(i,t) = A_(i,t_1) + ...+A_(i,t_n) + B_(i,s,t_n) cdot N_(i,t_n) - B_(i,s,t_0) cdot N_(i,t_0) - Ik`  (*)

Es sind drei Terme zu sehen:
a) Die Kapitalabfindungen
b) Der Börsenwert zu Zeitpunkt tn * Die Anzahl shares
c) Der Börsenwert zum Zeitpunkt 0 * Die Anzahl shares (Kauf)
d) Die Initialkosten

Unser Ziel ist es aber, jährliche mit vierteljährlicher zu vergleichen.

Leider können wir die `N_(i,t_n)` und die `N_(j,t_n)` nicht durch eine geschlossen Formel ausdrücken, so dass wir iterativ vorgehen.

`N_(i,t_1) = N_(i,t_0) + |1/B_(i,s,t_1)cdot(N_(i,t_0)cdotD_(i,s,t_1)-T_(i,t_1))`|

Kosten prozentual formuliert

Wir formulieren dies um:

`q_(i,t_1)cdot|(N_(i,t_0)cdotD_(i,s,t_1))/B_(i,s,t_1)|`    : sei gerade die Anzahl Aktien die erworben werden abzüglich Kosten

`q_(i,t_1)` ist sicher kleiner als 1, weil sonst keine Kosten anfallen würden.

der genaue Wert ist:

`q_(i,t_1) = 1 - T_(i,t_1)/(N_(i,t_0) cdot D_(i,s,t_1))`


und damit folgt für unsere Rekursionsformel:

`N_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1)) +|Ñ_(i,t_n)| = N_(i,t_(n-1)) + |q_(i,t_n)cdotN_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n)/B_(i,s,t_n)|`

mit

`q_(i,t_n) = 1-T_(i,t_n)/(N_(i,t_(n-1)) cdot D_(i,s,t_n))`

Bilanz zwischen halbjährlicher und vierteljährlicher Dividende

Es wird nun das berühmte Delta gebildet. Also die Differenz der zur erwartenden Renditen.

`Delta W = W_(i,t) - W_(j,t) = A_(i,t_1) + ...+ A_(i,t_n) + B_(i,s,t_n) cdot N_(i,t_n) - B_(i,s,t_0) cdot N_(i,t_0) - I_ik`
`- A_(j,t_1) - ...- A_(j,t_n) - B_(j,s,t_n) cdot N_(j,t_n) + B_(j,s,t_0) cdot N(j,t_0) + I_jk`

Diese Gleichung hat sehr viele Terme und müsste in einem realistischen Fall simuliert werden. Eine Aussage, wie sich `Delta W` verhalten wird, kann so nicht gemacht werden.

Damit überhaupt eine Aussage gemacht werden kann, wird vereinfacht.

Jetzt wird drastisch vereinfacht

Für eine erste Betrachtung vereinfachen wir:
a) Die Initalkosten seien gleich: `I_ik=I_jk`
b) `B_(i,s,t_0) = B_(j,s,t_0)` und `N_(i,t_0)=N_(j,t_0)`
d) m < n
e) Der Endbörsenwert soll gleich hoch sein `B_(i,s,t_n) = B_(j,s,t_n) = B_(e,t_n)`
f) n soll durch vier teilbar sein:

=> `Delta W = A_(i,t_1) + ... + A_(i,t_n) + B_(e,t_n)(N_(i,t_n) - N_(j,t_n)) - A_(j,t_1)-...-A_(j,t_n)`

weitere Annahmen:

g) i soll vierteljährliche Dividende sen
    => `A_(j,t_1)=A_(j,t_2)=A_(j.t_3)=0, A_(j,t_4) != 0`

h) Die Dividendeneträge pro Jahr sollen gleich sein: Also ist die vierteljährliche Dividende gerade 1/4 der jährliche Dividende. Zudem sei die ausgeschüttete Dividende konstant

i) Die prozentuale Auszahlung soll ohne BdA. 1 sein

k) Die Kosten für einen Neuerwerb (Reinvestition) seien 0 => `q_(i,t_n) = 1`

l) Der Börsenwert sei praktisch konstant und variere nur wenig...

Mit diesen Annahmen folgt dann:
 
   `N_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1)) + |N_(i,t_(n-1))cdot1/4cdotD/B_k|`
   `A_(i,t_n) = (N_(i,t_(n.1))-|Ñ_(i,t_n)| )cdot1/4cdotD`

Mit Zahlen von oben Na = 20, D=120, Bk = 500

=> `Delta W_(t_1) = A_(i,t_1) + B_(e,t_1)cdot (N_(i,t_1) -N_(j,t_1))` 

und die anderen Deltas folgen analog:

Auswertung

...	1	2	3	4	5	6	7	8
`N_(i,t_n)`	21	22	23	24	25	26	27	28
`A_(i,t_n)`	6	7.8	9.6	11.4	13.2	15	16.8	18.6
`N_(j,t_n)`	20	20	20	24	24	24	24	29
`A_(j,t_n)`	0	0	0	96	0	0	0	91.2
`Delta W_(t_n)`	506	1013.8	1523.4	-61.2	452	967	1483.8	-588.8

In unserem Beispiel sehen wir, dass die Aktie mit jährlicher Dividendenzahlung über die Aktie mit quartalsweiser Dividendenzahlung gewinnt. Auch im nächsten Schritt wird die Aktie mit jährlicher Dividendenzahlung gewinnen, weil dann bereits 35 Aktien vorhanden sind und im vierteljährlichen Fall nur 32.

Leider ist das nur ein Beispiel und die mathematische Begründung wie ich sie am Anfang zu erreichen suchte, ist doch wahrscheinlich zu komplex, um im vernünftigen Zeitrahmen auf eine Lösung zu kommen. Ich denke, dass obiges Beispiel durchaus eine Ausnahme sein kann.

Eine Auswertung mit halbe Aktien

Ich versuche noch das Ganze weiter zu vereinfachen, indem Bruchteile von Aktien bei der Reinvestition erworben werden können. Das ist natürlich rein hypothetisch! Allerdings können dann unter dieser und obiger Annahmen die Aktienanteile mit einer direkten Formel berechnet werden und nicht mehr nur über eine Rekursionsformel.

`N_(i,t_n) = N_(i,t_(n-1)) + N_(i,t_(n-1))cdot1/4cdotD/B = N_(i,t_(n-1))(1+1/4cdotD/B)`-_
          = `(N_(i,t_(n-2)) + N_(i,t_(n-2)) cdot 1/4 cdot D/B)(1 + 1/4 cdot D/B)`
          = `N_(i,t_0) cdot (1+1/4 cdot D/B)^n `

=>

`Delta N_(ij,t_n) = N_0 cdot [ (1+D/B)^n - (1+1/4 cdot D/B)^(4n)]` (**)

wobei n durch vier teilbar sein muss.


Wir sehen ein Verhalten, dass sich genau gegenteilig zu unseren Berechnungen verhält - wir gewinnen Geld mit einer vierteljährlichen Dividende:

...	1	2	3	4	5	6	7	8
`N_(i,t_n)`	21.2	22.47	23.82	25.25	26.76	28.37	30.07	31.88
`N_(j,t_n)`	20	20	20	24.8	24.8	24.8	24.8	30.75
`Delta W_(ij,t_n)`	600	1235	1910	225	980	1785	3035	565

Also: Mit Bruchteilen an Aktien können wir das nicht begründen!

Diskussion von **

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Anzahl Aktien zum Starten:
Angenommener konstanter Börsenwert:		Jahresdividende
Anzahl Jahre
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